Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
x²=12×10-6×5x²=90x>0x=3√10
詩人兼農業技師の宮沢賢治の友人に当てた手紙には、ヘロンの公式が載っています。友人が病気になって肉体労働ができなくなったので,体を使わないような職業で適当なものはないかと宮沢賢治に相談を持ちかけていた時の話。「...差 し当っては施肥量その他の問題で耕地の測量があります。耕地を簡単な三角形に分けて三辺を測り,それから面積を出すもので√三辺の和の半× (同 一第1辺)× (同 一第2辺 )×(同一第3辺)の計算など田一枚ずつですから一部落 で何千と要るわけです。こんな仕事はいかがでしょうか」と。流石宮沢賢治さん。
おはようございます。私は、中学生の時に数学の魅力に少し気付きました。定時制高校でどっぷり数学に興味･関心を深く抱きました。 そして夜間大学数学科で、本格的に数学を学ばさせて頂き、数学教師の端くれとならせて頂きました。 37年間の数学教師生活は、一瞬に過ぎました。有難いことです。 さぁ、感謝の気持ちを大切にして、貫太郎先生から数学を学ばさせて頂きます。
昨日 夕方配信してくれた多項定理は良かったです 今朝のも良問 証明nice!
角の2等分線の底辺の比より６：５．余弦定理 を通分してcosθを消去ｘ²＝90 x＝３√10私にもスッキリ出来ました。
林俊介さんのチャンネルでも、ちょっと前に取り上げられていましたね。角の２等分線定理は、初等幾何的な方法以外に、ベクトルや複素平面でも証明できます。その証明自体は割愛させていただきますが、角の２等分線定理を既知のものとしてベクトルを利用すれば、本問は単なる内積計算に帰着されます。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜別解＞：（角の２等分線定理とベクトルを利用／単なる内積計算に帰着）与三角形の各頂点を、一番上の頂点から始めて反時計回りにそれぞれA,B,Cとおく。角Aの２等分線とBCの交点をDとおく。『△ABCの存在は三角不等式から明らかで、角Aの２等分線と対辺BCとの交点Dの存在も明らかだから、ADの長さの存在は保証されている。よって必要性だけを追って長さが一意に定まりさえすれば、十分性も保証される。以下、必要性だけを追う。』（※『』内の記載は、入試の答案としてはおそらく不要です。）b = vecAB, c = vecAC とおく。角の２等分線定理により BD:DC = 6:5 であるから、題意は 「|b|=12 かつ |c|=10 かつ |b - c|=11 …★のとき、 |5b + 6c|/11を求めよ」と言い換えられる。★より、 |b|^2=144 かつ |c|^2=100 かつ |b - c|^2 = |b|^2 - 2bc + |c|^2 = 121 ∴ 2bc=123。 ∴ |5b + 6c|^2 = 25b^2 + 60bc + 36c^2 = 25*144 + 30*123 + 36*100 = 10*5*9*8 + 10*9*41 + 10*99*40 = 10*9(40+41+40) = 10*9*121 = 10 * 33^2。 ∴ |5b + 6c|/11 = 33√10 /11 = 3√10。以上により、x=3√10。■
角の二等分線の公式からx²=12×10-6×5より、x=3√10
おなじ！
それって証明なしで使えますかね？
@@grander1006 大丈夫だと思いますよ。まぁ証明するって言っても外接円描いて方べきの定理と相似を言えばすぐに公式は導出できるので、それさえ知っていれば導出の流れでx出せますね。
余弦定理２連打でも解けますね11,12の間の角をθとすると余弦定理(辺の長さが11,12,10の三角形)よりcosθ=(12^2+11^2-10^2)/(12×11×2)=5/8さらに余弦定理(辺の長さ12,6,xの三角形)よりx^2=12^2+6^2-2×12×6×5/8=90x>0よりx=3√10追記せっかく高校数学の知識があるのなら三角比の力を使えば角の二等分線の証明は平行線や合同を使わなくても楽勝ですね。△ABCをAB=cBC=aCA=b角BACの角の二等分線とBCの交点をDとすると(角BAD=θとする)、BD:CD=△ABD:△ACD=(1/2 × c ×AD×sinθ):(1/2 × b ×AD×sinθ)=c:bADの長さが一見すると邪魔そうですが比にすればうまく消えるのです。
"邪魔駒消去" は詰将棋の手順ですね。(笑)
倍角の公式を使うよりも、5^2=10^2+x^2-20xcosθにxcosθ=33/4を代入する方が楽で、計算ミスが少ないと思う。
そうですね。ほとんどの人がxcosθ=33/4を産んだ親である5^2=10^2+x^2-20xcosθに代入して失敗した経験から抵抗があるんです。だから貫太郎先生は他人である辺10-12-11三角形から生まれた式に代入したんだと思います。でも今回は"近親相関"になっていなくてokであり、計算も簡単ですね。
@@tetuyoshida1988 さん、"近親相関" って、計算していくと結局 Ａ＝Ａになるってことですか？ちなみに、コンプラの関係で "相女³" を避けたのでしょうか。（”女³” はかしましいと読む字です。）
@@HachiKaduki0501 ｺﾞｼﾞっただけですよ。
@@tetuyoshida1988 さん。私は決して、”揚げ足をとる” つもりで言ったわけではないので、どうぞ "ご海容" を。
なんでや阪神関係ないやろ
私も面積比で理解してます 垂線書くだけで感覚的に理解でき、見通しがいいです三角関数を使えば、c:d=(1/2)axsinθ:(1/2)bxsinθ=a:b
これは私立高校で何度も出題されています。x2乗＝隣辺の積➖底辺の積秒殺問題です。
I almost forgot all middle school geometry.
動画の方法、恥ずかしながら忘れていたのですが、これみて美しい証明でびっくりしました。一応自分が考えた中学範囲内での証明も載せておきます。二等分線と底辺との交点をDとして、Dからふたつの辺に垂線を引きます。すると合同な直角三角形(斜辺と一鋭角条件)が現れ、垂線が等しいことがわかるので、そこから底辺と面積の比が等しいことを使って証明しました！
今日はマーク模試二日目です。今日は数学があります。日頃の成果を発揮して「速く、正確に」計算をしていい結果を残したいです！
おはようございます。貴殿のさらなる実力の発揮を、祈っています。
健闘を祈ります👍
出題意図は何だったのだろうか、0点防止問題？角の二等分線はAからBCに垂線下ろして面積比較。平面幾何の問題は答案を書くのが面倒です。言葉で説明する方が楽ですね
私にとって角の二等分線の定理の証明には、悲しい思い出があります。 夜間大学数学科の学生時代に初等幾何学の講義で、担当教授に指名され私はこの問題を解くように命じられました。 発表当日無惨にも、私の証明らしきものは、先生に原形を止めないほど添削されました。 そのお蔭で、数学教師の端くれとなりました。有難いことです。 貫太郎先生の明快な解法の説明に、深謝します。
おはようございます。少し強引に、ヘクトルを使ってやってみました。ベクトルa、|a|=12、ベクトルb、|b|=10、ベクトルｘ＝ta+(1-t)bとおいて、内積(a,x)=|a||x|cosθ、内積(b,x)=|b||x|cosθ、よりtの方程式を作り、t:1-t=5:6を算出。本当は平面幾何の方が早いし、計算ミスが無いのです。平面幾何の本見てたら、今日の動画は、三角形の内角の二等分線は対辺を他の２辺の比に分けることの問題ですが、外角の二等分線も，同様に対辺を他の２辺の比に分けることが証明されてます。明日もよろしくお願いします。
底辺を11-y,yとおいて余弦定理の流れで進めました。これだとyが整数になるということが明確にならず…二等分線なら初めから整数になってて進められます。これを知ってるか知らないかが分かれ目なのか。
4:37 夜中(2時)に見てたから死ぬほどビビった。こんな時間に玄関チャイムは怖すぎる…と思いきや鈴木家の家でした。
裏技っぽいやつで√12×10-6×5=3√10みたいなのでもできますよ！
これ、いいですね。
余弦定理よりの2式に、それぞれに12と10の公倍数60になるように両辺に5と6を掛けてxcosθの項を消去する。xの2乗が90となり 答え 3√10 と出しました。
二等分線の長さの公式は中学数学の問題集に載ってた気がする
三角形の内角の二等分線の定理も外角の二等分線の定理も、貫太郎さんが今回の動画でやってらしたように補助線を引いて証明するのが平面幾何らしい証明だろうなといつも感じています。実際には、他の方もコメントしていらっしゃいますが、単に２つの三角形の面積を比較するだけで、どちらの定理も証明できてしまいますが・・・中学生のときに、補助線を引く証明をみたときの感動を今でも覚えていて、自分が学生に教えるときも、補助線を引いて証明していることが多いですね。
そういえばヘロンの公式って名前でしたね。証明を習った記憶はないですが、高さ（垂線の長さ）をsinで表して、それを三角形の面積の公式をぶち込んだだけだなぁって認識してました。
おはようございます。貫太郎さんのおっしゃるとおり、”ヘロンの公式” は、正弦定理と余弦定理で証明できますね。実際に計算してみたことがあるのですが、sin, cos はすぐに消えてしまって因数分解の練習問題のような式になりました。見やすくするため三辺の長さの合計を "2S" とおくところが、工夫といえば工夫でしょうか？
私も自分で計算したことがあります。仰る通り、因数分解の練習問題になりますね。要領良く計算しないとゴチャゴチャになりますね。ヘロンの公式は3辺が整数の場合はまだしも、辺の値が有理数になるとほぼ実用性無しなので、「観賞用公式」なのではと思っております。
正弦定理じゃなく、面積公式を使った方がいいですね。昔、高校時代だったか、授業中に授業を聞かずに（笑）、ヘロンの公式を証明してた事がありますが、全部展開しちゃったので、因数分解が大変だった覚えがあります。なるべく展開せずに変形するのがコツですね。
@@vacuumcarexpo さん、ありがとうございます。仰るとおり私の頭にあったのは、S＝1/2・AB・AC・sin∠A という面積公式でした。また、「三辺の長さの合計を "2S" とおく」ときの S は "s（小文字）" ですね。
ₐ△ͩ ̜ とし△⃝外接円とdの二等分線の交点をbとし、dbとacの交点をeとすると△dae∽△dbcで[da]:[de]=[db]:[dc]また方べきの定理→[de][eb]=[ae][ec]以上より[de]=√(12×10-6×5)ですね
一行目の三角形はₐ△ͩ ̜ です。[de]=x,[eb]=yとすると12×10=x(x+y)xy=6×5なのでx²=120-30
3つ目の証明は知らんかったなー
京大の問題ってのが驚きですね😲角の二等分線定理は，今はどうだか分かりませんが，私の時代は公立中学の教科書には載ってなかったと思います。塾でしか習わない定理だったみたいな記憶があります。メジャーな定理の割りに教科書には載らない不思議な存在だったと記憶しています。もっとも，連立不等式すら中学校の指導要領から削除されていた時代なので，今は違うかもしれません。角の二等分線定理のもう1つの証明方法について，便宜上，この問題の設定を使って書きます。まず，角の二等分線と対辺の交点から，他の長さ12と10の辺それぞれに垂線を引きます。すると，角度θの頂点を持ち，かつ今引いた2垂線をその対辺とする直角三角形が2つでき，それらは斜辺（共通）と他の1鋭角（=θ）が等しい直角三角形となるので，二角夾辺相当より合同となり，2垂線の長さが等しくなります（ここで2垂線の長さをhと置きます）。次に，角の二等分線で分割されて元からできている2つの三角形の面積に注目して，それらの面積比は，角の二等分線との交点による内分比に等しくなります。その一方で，それぞれの面積をを使って求めると，12h/2と10h/2であり，これらの面積比，すなわち6:5がそのまま内分比となるので，これで証明完了です。さて，この問題ですが，余弦定理を使うまでもなく，高校受験レベルでも解けてしまいますね。便宜上，図形に名前をつけます。三角形の名前をABCとして，AB=12，BC=11，CA=10，また，角の二等分線による辺BCの内分点をDとすると，BD=6，CD=5となります。今，頂点Aから辺BCに垂線AHを引きます。そしてCH=yとすると，△ACHと△ABHで三平方の定理を適用して，AH^2 = 12^2 - (11 - y)^2 = 10^2 - y^2 ⇒ y = 7/2∴DH = CD - CH = 5 - 7/2 = 3/2また，AH^2 = 10^2 - y^2 = 10^2 - (7/2)^2 = 351/4より，△AHDで三平方の定理を適用すると，求めるADはAD^2 = AH^2 + DH^2 = 351/4 + (3/2)^2 = 90∴AD = 3√10
今の教科書だと角の二等分線定理は当たり前のように証明付きで載ってますね（証明方法は動画と一緒）。私の時代にも教科書に載ってたので、採用した教科書が違うのか単に学生だった時代が違うのか...中学の知識だと証明のために面倒な補助線が必要ですが高校数学だとsin使って面積比で一発なので、高校数学は偉大ですね（笑）
@@hyakunitizeki1 さんご返信ありがとうございます。普通に教科書に載ってるんですね。私の中学時代は教科書になく，学校の授業では全く扱われませんでしたね。塾でしか習いませんでした。上述のとおり，連立不等式も指導要領から削除されていましたが，受験前に先生の裁量で教えていました。しかし角の二等分線定理は学校の授業で全く登場しなかったです（笑）
自分も初見です。 順列、組み合わせを扱ってた時代で、中2の定期試験で将棋盤にはいくつの長方形があるか という問題が今でも忘れられないですよ。
@@coscos3060 さん順列，組み合わせについても，いわゆるPとCを使う計算ですが，自分の中学時代は学校の教科書にはなかったと記憶しております。教科書にあったのは，せいぜい標本が云々程度。ただ塾では当たり前のようにやってて，私学入試では，知らないと対応できない問題が当たり前のように出ていました。ただ，当時の学校の先生は，私学入試の実態を踏まえて，裁量でPやCを使ったり，余事象を使う問題をガンガン扱っていました。＞将棋盤にはいくつの長方形があるか中学の定期試験にしてはえぐいですねこれ😅
@@KT-tb7xm さん そうなんですよ 暗算でも簡単にでるんで忘れらないですよ😉 確か期待値まで教科書にあったような 昭和４０年代なんですで😂
今日京大OP行ってきます！
数年前から数学には興味があって、貫太郎さんは基礎もやってくらはるから、本当にありがたい✨ありがとうございます😊💕✨
土日なんで久しぶりに貫太郎できました角の二等分線の定理の証明は平行線引くやつしかしらなかったです
おはよう御座います。ヘロンの公式は観賞用で実際に使用した事はないように憶えています。正接の関係式からの証明としては良い練習問題ではありますが…。面積から辿ってもそんなに時間は要しないのですが、やや遠回りの迂回路になりそうですので、素直に余弦定理から辿っていくのが近道なのかな、と思ったりもします。
「３辺の長さが分かってる状態から面積"だけ"分かればいい」って状況自体がかなり限られますからね。普通は面積だけじゃなくてsinとかcosにも用がある場合が多いから、その場合はヘロンの公式を使わずに「sinを求める→sinを使って面積を求める」とした方が無駄がないですからね。ただ、例外的に防衛医科大や自治医科大のような１問１答形式の数学のマーク試験や難関私立高校の小問集合だと「面積さえ分かればいい」って場合が多いので使えますね。
私が土地の買収に係わる仕事をしていたとき、図面上でヘロンの公式を使って地積を確認したところ、先輩（土地家屋調査士の資格を持っておられたのかな？）に、「鉢かづき、君は "事務屋" なのにヘロン知ってるのか❗」と感心されたことがあります。確か、高校で習ったと思うのですが、今だったら「中学受験する子は習うんですよ。」とでも答えたでしょう(笑)実生活で「ヘロン」を使ったのはあとにも先にもそのときだけです。
使えるタイミングでは便利ですよ
@@HachiKaduki0501 さん 用地測量して、細かく3角形にして最後に合算して土地面積をだす方法ですよね 座標値が重要なんですよね 土地家屋調査士は難しい試験で今でもそろばんの腕前が必要なんでしょうか
@@coscos3060 さん、調査士さんや測量士さんの試験のことはよく存じませんが、さすがにそろばんは使わないんじゃないでしょうか？座標で面積を算出するのは、原点Ｏと点Ａ(x₁,y₁)，Ｂ(x₂,y₂) を３つの頂点とする三角形の面積Ｓが、Ｓ＝|x₁y₂-x₂y₁|/2 で求められることを繰り返し使っているんですね。
B△ͦCとし角二等分線の内分点をPとしp⃗=(5/11)b⃗+(6/11)c⃗で両辺2乗,|p⃗|²=(5/11)²|b⃗|²+(6/11)²|c⃗|²+2(30/121)b⃗c⃗。b⃗・c⃗=|b||c|cosθ,cosθ=(12²+10²-11²)/2(12×10)で|p⃗|²=90と求めました。
全然問題と関係ないんですけど、スマホの入力で２乗ってどうやって入力できるんですか？
6^2=12^2+x …の式を5倍、下の式を6倍しました～
今日たまたまこれ解きました。本当に京都大学？て思いますよね
はじめの式をcosイコールにして消せばcos考えなくていいですね。
4xcosθ=33 だったら24xcosθ=198 なので36=144+x^2-198 よってx^2=90
こういう定理の証明を大切にする数学の先生がどれほどいることか。案外定理の証明を使ってとく問題が出題されることがありますからね。
高校入試過ぎると、中学でやった証明とか忘れちゃいますね。9:55 今回なんだかおすすめ動画と登録表示が出て来て微妙に見にくいんですけどｗ
ご指摘ありがとうございます。修正しました。
角の二等分線の性質は現行の学習指導要領上では数学Aの「図形の性質」の範囲内になっていますね。確かに（高校の）旧々課程までは中学内容だった記憶がありますが、その一部が（高校の）旧課程以降（03年度以降高校入学生以降）高校数学に繰り延べになっているようです。
動画の中で、「二角相当」（二角挟辺相当）という言葉がありましたが、今はその教え方していないみたいなんですよね（言葉的な意味で）今の学生は長ったらしく、「ふたつのかくのおおきさと、あいだのへんのながさがひとしい」と書かないと行けないようで
多分それは先生によるような気がします。私の中学時代も合同条件や相似条件の二辺夾角相当とか二角相当みたいな用語は教科書に載っていませんでしたが，先生が裁量で教えて，定期試験でもそれで良しとされていました。一方，高校進学後に他中学校から来た同級生は「二辺夾角相当って中学校の試験で書いたら×にされた」なんて言ってました。
ここに、出没する頭いい人からしたら「は？」って感じかもしれんけど、航空大学校でこーゆー問題出そうな気がする、、、
角の二等分線に対するベクトルは比が先に出るのでそれでやったら出ました。ただ計算は面倒です笑
4:40 インターホン
鈴木さんは昭和天皇から最も信頼された海軍大将だったって本当ですか？
（かなり "横" ですが、…。)「泣いてチャップリン」という本を "ジャケ買い" ならぬ、”著者名で注文” したのですが、あの先生ではないし、"二・二六" ならぬ "五・一五" の話だし…、とがっかりしたことがあります。著者の 森毅（もり たけし）さん、ごめんなさい。
@@NatureJapan3776 さん 学生時代 寮の先輩で鈴木貫太郎 て名前の型破りな人がいた 昔の磨き粉洗剤ハミングを、歯磨き粉替わりに使ってたのには周りの寮生皆ドン引きしてました(⊙_⊙;)
細かい部分に、気を使えるということは、その上？の部分は、物凄く理解しているという証明。細かい部分＝余裕。細かい部分の余裕は、何に化けるかと言うと、多分、聞き手に解りやすくするにはどうすれば良いか？の表現探しのエネルギーになると思っています。（余裕が無ければ、これはできない）.なので解りやすくて当たり前。また、楽しい解説を期待してます。.
7:05 ここで立てた2式から消去すべきはcosθでは？
スチュワートの公式でも出来ますね！
スチュワートの公式、覚えたいけど、バカだからかすぐに忘れる（笑）。
@@vacuumcarexpo さん。「覚えられないなら、作ればいいのよ !」（貫太郎さんの心を、マリーアントワネット（の周辺にいた某貴婦人）の言葉で表現してみました。）
@@HachiKaduki0501 ご返信ありがとうございます。スチュワートの定理はパップスの中線定理の一般化だから、スチュワートからパップスへの変換は簡単だけど、パップスからスチュワートに逆算的に変換しようとすると、「えーと、えーと」ってなっちゃう（笑）。
@@vacuumcarexpo さん、そうですよね。余弦定理の特別な場合が三平方の定理なので、前者から後者を導くのは簡単ですが、後者から前者にはなかなかたどり着けないでしょう。文系の私でも、”ピタゴラス” は小学生の頃既に知っていたと思います。（「二十歳過ぎればただの人」ですが、…。(^^ゞ）
中学数学の問題が京都大で…って、こういうのは意外と落とし穴じゃないかと思う。だいたいがもって京都大学で中学数学の問題が出るなんて誰も予想はしないだろうｗ実際の問題文はさておき、どう解答するかはすごく悩む受験生が大半だったんじゃあるまいか？実際に受験した人の感想を聞いてみたいですね。
中学の時に定理ノートというものを作らせてくれた先生。確か、30項目くらいあった。こんなこと言わなきゃいけない？結果だけいいんじゃないのと思っていたけど、高校に入った時にすでに神だと思った☺先が見えている人は素晴らしいと思って、自分もそのスタイルを一生貫きたいと思う。というか、貫太郎さんの「貫」っていう字、素敵ですよね☺
高校受験でこういうの解いた覚えあるわ
倍角すらいらないよね。数Ⅰの範囲になるから文系の問題かな？2つの余弦定理の式の差から、4xcosΘ＝33になるから、両辺に5か6をかければ終了じゃん。
この問題、京都府の公立高校の入試・・・、というか中学生でもできるのね。11の辺が角の二等分線で6と5に分かれることさえ分かれば、10と12の辺でできる頂点から11の辺に垂線引けば、三平方の定理だけで終わるよね。
交点からそれぞれ垂線下ろせば垂線は同じ長さなので、面積の比がそのまま底辺を分割することになります。 左右の三角形でそれぞれ余弦定理使ってｺｻｲﾝθを消せばxの方程式がすぐ出ます。その方が発想が簡単だと思いますがいかがでしょうか？
分けられた２つの三角形の面積比で覚えてました。高さが同じときは底辺の比。これの2パターンから。
(公式、三角関数、ベクトルの予備知識なしで)△ABCの角Aの2等分線とBCとの交点をPとし、AB上の点Qを角APQ=角ACPとなるように定め、△PQB∽△APB および △APQ∽△ACP からPB/AB = PQ/AP = CP/AC => PB=6 & PC=5AP*AP=AQ*AC=(AB-QB)*AC=AB*AC-(PB*(PB/AB))*AC=AB*AC-(PB*PC/AC)*AC=AB*AC-PB*PC=12*10-6*5
最小公倍数を見つけてcosθを消しちゃえば、中学生でも解けますね。
√（12*10－5*6）=3√10ですね
インターホン、自分の家のやつがなったのかと思った。(^◇^;)さすが、無編集系youtuber和と差の積とか地味に効いてくるよなぁ。
倍角とか使わずにできたんですけど・・・
本日は所謂「大阪都構想」の住民投票の日先にここの問題を検討して住民投票に行こうとすると、ここの問題で泥沼にハマったとき投票に行くのが面倒になると思い、先に投票を済ませ、投票場の近くのスーパーで買い物をしてこの問題に取り組みました。「死ぬほど簡単」が２回出てくるとちょっとプレッシャー。とは言うものの京大でこれが出題された意図はちょっと掴みかねます。私は右側の三角形と左側の三角形でそれぞれ cosθ＝○△□の式を作ってそれが等しいということでｘについて解きました。角の2等分線の定理は有名定理ですから、証明の流れは覚えていました。ただ、一度は経験していないとあのような補助線はなかなか思いつかないのではないかと思います。青チャに載っている定理なので最近は中学では習わない定理なのでしょうかね？（と、いいつつ私はこの定理を「学校」で習った記憶は無い。単に私が覚えていないのか、カリキュラムの狭間で習わなかったのかは不明です。）三角関数の使用を認めるなら、面積比を使う証明がシンプルで好きです。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
2式でcosを消去したら早くないかい
aicezukiが試験中に知恵袋に投稿してた問題じゃん
定理の証明に他の定理使ってもいいのか。
角の二等分線の定理は高校数学Aですね。
暗算でできましたー
一応ベクトルと正弦定理で証明したンゴ
幾何的に証明する意識が全くなかった
俺ならベクトル使うな。x=|(5a+6b)/11|より
ヨシッ❗
暗算で√90
東大とか京大稀にあるよね
√(12・10-6・5)=3√10で答えでるからこの公式を証明して終わりだと思った。まぁ証明できる人あんまいないのかもしれないけどwwこれならθは使わないし楽だと思う。
ベネッセに出たよー
あれ、中三だけど解けた…自分なら証明は面積比ですかねー
![Twenty One Pilots - The Line (from Arcane Season 2) [Official Audio]](http://i.ytimg.com/vi/XCz7WUotXs8/mqdefault.jpg)
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
x²=12×10-6×5
x²=90
x>0
x=3√10
詩人兼農業技師の宮沢賢治の友人に当てた手紙には、ヘロンの公式が載っています。
友人が病気になって肉体労働ができなくなったので,体を使わないような職業で適当なものはないかと宮沢賢治に相談を持ちかけていた時の話。
「...差 し当っては施肥量その他の問題で耕地の測量があります。耕地を簡単な三角形に分けて三辺を測り,それから面積を出すもので√三辺の和の半× (同 一第1辺)× (同 一第2辺 )×(同一第3辺)
の計算など田一枚ずつですから一部落 で何千と要るわけです。こんな仕事はいかがでしょうか」と。流石宮沢賢治さん。
おはようございます。私は、中学生の時に数学の魅力に少し気付きました。定時制高校でどっぷり数学に興味･関心を深く抱きました。
そして夜間大学数学科で、本格的に数学を学ばさせて頂き、数学教師の端くれとならせて頂きました。
37年間の数学教師生活は、一瞬に過ぎました。有難いことです。
さぁ、感謝の気持ちを大切にして、貫太郎先生から数学を学ばさせて頂きます。
昨日 夕方配信してくれた多項定理は良かったです 今朝のも良問 証明nice!
角の2等分線の底辺の比より６：５．
余弦定理 を通分してcosθを消去
ｘ²＝90 x＝３√10
私にもスッキリ出来ました。
林俊介さんのチャンネルでも、ちょっと前に取り上げられていましたね。
角の２等分線定理は、初等幾何的な方法以外に、ベクトルや複素平面でも証明できます。
その証明自体は割愛させていただきますが、角の２等分線定理を既知のものとしてベクトルを利用すれば、本問は単なる内積計算に帰着されます。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜別解＞：（角の２等分線定理とベクトルを利用／単なる内積計算に帰着）
与三角形の各頂点を、一番上の頂点から始めて反時計回りにそれぞれA,B,Cとおく。角Aの２等分線とBCの交点をDとおく。
『△ABCの存在は三角不等式から明らかで、角Aの２等分線と対辺BCとの交点Dの存在も明らかだから、ADの長さの存在は保証されている。よって必要性だけを追って長さが一意に定まりさえすれば、十分性も保証される。以下、必要性だけを追う。』
（※『』内の記載は、入試の答案としてはおそらく不要です。）
b = vecAB, c = vecAC とおく。角の２等分線定理により BD:DC = 6:5 であるから、題意は
「|b|=12 かつ |c|=10 かつ |b - c|=11 …★のとき、 |5b + 6c|/11を求めよ」
と言い換えられる。★より、
|b|^2=144 かつ |c|^2=100 かつ |b - c|^2 = |b|^2 - 2bc + |c|^2 = 121
∴ 2bc=123
。
∴ |5b + 6c|^2 = 25b^2 + 60bc + 36c^2
= 25*144 + 30*123 + 36*100 = 10*5*9*8 + 10*9*41 + 10*99*40
= 10*9(40+41+40) = 10*9*121 = 10 * 33^2
。
∴ |5b + 6c|/11 = 33√10 /11 = 3√10。
以上により、x=3√10。■
角の二等分線の公式から
x²=12×10-6×5より、
x=3√10
おなじ！
それって証明なしで使えますかね？
@@grander1006 大丈夫だと思いますよ。まぁ証明するって言っても外接円描いて方べきの定理と相似を言えばすぐに公式は導出できるので、それさえ知っていれば導出の流れでx出せますね。
余弦定理２連打でも解けますね
11,12の間の角をθとすると余弦定理(辺の長さが11,12,10の三角形)より
cosθ=(12^2+11^2-10^2)/(12×11×2)=5/8
さらに余弦定理(辺の長さ12,6,xの三角形)より
x^2=12^2+6^2-2×12×6×5/8=90
x>0よりx=3√10
追記
せっかく高校数学の知識があるのなら三角比の力を使えば角の二等分線の証明は平行線や合同を使わなくても楽勝ですね。
△ABCを
AB=c
BC=a
CA=b
角BACの角の二等分線とBCの交点をDとすると(角BAD=θとする)、
BD:CD=△ABD:△ACD=(1/2 × c ×AD×sinθ):(1/2 × b ×AD×sinθ)=c:b
ADの長さが一見すると邪魔そうですが比にすればうまく消えるのです。
"邪魔駒消去" は詰将棋の手順ですね。(笑)
倍角の公式を使うよりも、5^2=10^2+x^2-20xcosθにxcosθ=33/4を代入する方が楽で、計算ミスが少ないと思う。
そうですね。ほとんどの人がxcosθ=33/4を産んだ親である5^2=10^2+x^2-20xcosθに代入して失敗した経験から抵抗があるんです。だから貫太郎先生は他人である辺10-12-11三角形から生まれた式に代入したんだと思います。でも今回は"近親相関"になっていなくてokであり、計算も簡単ですね。
@@tetuyoshida1988 さん、"近親相関" って、計算していくと結局 Ａ＝Ａになるってことですか？
ちなみに、コンプラの関係で "相女³" を避けたのでしょうか。（”女³” はかしましいと読む字です。）
@@HachiKaduki0501 ｺﾞｼﾞっただけですよ。
@@tetuyoshida1988 さん。
私は決して、”揚げ足をとる” つもりで言ったわけではないので、どうぞ "ご海容" を。
なんでや阪神関係ないやろ
私も面積比で理解してます 垂線書くだけで感覚的に理解でき、見通しがいいです
三角関数を使えば、
c:d=(1/2)axsinθ:(1/2)bxsinθ=a:b
これは私立高校で何度も出題されています。
x2乗＝隣辺の積➖底辺の積
秒殺問題です。
I almost forgot all middle school geometry.
動画の方法、恥ずかしながら忘れていたのですが、これみて美しい証明でびっくりしました。一応自分が考えた中学範囲内での証明も載せておきます。二等分線と底辺との交点をDとして、Dからふたつの辺に垂線を引きます。すると合同な直角三角形(斜辺と一鋭角条件)が現れ、垂線が等しいことがわかるので、そこから底辺と面積の比が等しいことを使って証明しました！
今日はマーク模試二日目です。今日は数学があります。日頃の成果を発揮して「速く、正確に」計算をしていい結果を残したいです！
おはようございます。貴殿のさらなる実力の発揮を、祈っています。
健闘を祈ります👍
出題意図は何だったのだろうか、0点防止問題？
角の二等分線はAからBCに垂線下ろして面積比較。
平面幾何の問題は答案を書くのが面倒です。言葉で説明する方が楽ですね
私にとって角の二等分線の定理の証明には、悲しい思い出があります。
夜間大学数学科の学生時代に初等幾何学の講義で、担当教授に指名され私はこの問題を解くように命じられました。
発表当日無惨にも、私の証明らしきものは、先生に原形を止めないほど添削されました。
そのお蔭で、数学教師の端くれとなりました。有難いことです。
貫太郎先生の明快な解法の説明に、深謝します。
おはようございます。少し強引に、ヘクトルを使ってやってみました。ベクトルa、|a|=12、ベクトルb、|b|=10、ベクトルｘ＝ta+(1-t)bとおいて、内積(a,x)=|a||x|cosθ、内積(b,x)=|b||x|cosθ、よりtの方程式を作り、t:1-t=5:6を算出。本当は平面幾何の方が早いし、計算ミスが無いのです。
平面幾何の本見てたら、今日の動画は、三角形の内角の二等分線は対辺を他の２辺の比に分けることの問題ですが、外角の二等分線も，同様に対辺を他の２辺の比に分けることが証明されてます。明日もよろしくお願いします。
底辺を11-y,yとおいて余弦定理の流れで進めました。
これだとyが整数になるということが明確にならず…
二等分線なら初めから整数になってて進められます。
これを知ってるか知らないかが分かれ目なのか。
4:37 夜中(2時)に見てたから死ぬほどビビった。こんな時間に玄関チャイムは怖すぎる…と思いきや鈴木家の家でした。
裏技っぽいやつで√12×10-6×5=3√10
みたいなのでもできますよ！
これ、いいですね。
余弦定理よりの2式に、それぞれに12と10の公倍数60になるように両辺に5と6を掛けてxcosθの項を消去する。xの2乗が90となり 答え 3√10
と出しました。
二等分線の長さの公式は中学数学の問題集に載ってた気がする
三角形の内角の二等分線の定理も外角の二等分線の定理も、貫太郎さんが今回の動画でやってらしたように補助線を引いて証明するのが平面幾何らしい証明だろうなといつも感じています。
実際には、他の方もコメントしていらっしゃいますが、単に２つの三角形の面積を比較するだけで、どちらの定理も証明できてしまいますが・・・
中学生のときに、補助線を引く証明をみたときの感動を今でも覚えていて、自分が学生に教えるときも、補助線を引いて証明していることが多いですね。
そういえばヘロンの公式って名前でしたね。
証明を習った記憶はないですが、高さ（垂線の長さ）をsinで表して、それを三角形の面積の公式をぶち込んだだけだなぁって認識してました。
おはようございます。
貫太郎さんのおっしゃるとおり、”ヘロンの公式” は、正弦定理と余弦定理で証明できますね。
実際に計算してみたことがあるのですが、sin, cos はすぐに消えてしまって因数分解の練習問題のような式になりました。
見やすくするため三辺の長さの合計を "2S" とおくところが、工夫といえば工夫でしょうか？
私も自分で計算したことがあります。仰る通り、因数分解の練習問題になりますね。
要領良く計算しないとゴチャゴチャになりますね。
ヘロンの公式は3辺が整数の場合はまだしも、辺の値が有理数になるとほぼ実用性無しなので、「観賞用公式」なのではと思っております。
正弦定理じゃなく、面積公式を使った方がいいですね。
昔、高校時代だったか、授業中に授業を聞かずに（笑）、ヘロンの公式を証明してた事がありますが、全部展開しちゃったので、因数分解が大変だった覚えがあります。
なるべく展開せずに変形するのがコツですね。
@@vacuumcarexpo さん、ありがとうございます。
仰るとおり私の頭にあったのは、S＝1/2・AB・AC・sin∠A という面積公式でした。
また、「三辺の長さの合計を "2S" とおく」ときの S は "s（小文字）" ですね。
ₐ△ͩ ̜ とし△⃝外接円とdの二等分線の交点をbとし、dbとacの交点をeとすると△dae∽△dbcで[da]:[de]=[db]:[dc]
また方べきの定理→[de][eb]=[ae][ec]
以上より[de]=√(12×10-6×5)ですね
一行目の三角形は
ₐ△ͩ ̜ です。
[de]=x,[eb]=yとすると12×10=x(x+y)
xy=6×5なのでx²=120-30
3つ目の証明は知らんかったなー
京大の問題ってのが驚きですね😲
角の二等分線定理は，今はどうだか分かりませんが，私の時代は公立中学の教科書には載ってなかったと思います。塾でしか習わない定理だったみたいな記憶があります。メジャーな定理の割りに教科書には載らない不思議な存在だったと記憶しています。もっとも，連立不等式すら中学校の指導要領から削除されていた時代なので，今は違うかもしれません。
角の二等分線定理のもう1つの証明方法について，便宜上，この問題の設定を使って書きます。まず，角の二等分線と対辺の交点から，他の長さ12と10の辺それぞれに垂線を引きます。すると，角度θの頂点を持ち，かつ今引いた2垂線をその対辺とする直角三角形が2つでき，それらは斜辺（共通）と他の1鋭角（=θ）が等しい直角三角形となるので，二角夾辺相当より合同となり，2垂線の長さが等しくなります（ここで2垂線の長さをhと置きます）。次に，角の二等分線で分割されて元からできている2つの三角形の面積に注目して，それらの面積比は，角の二等分線との交点による内分比に等しくなります。その一方で，それぞれの面積をを使って求めると，12h/2と10h/2であり，これらの面積比，すなわち6:5がそのまま内分比となるので，これで証明完了です。
さて，この問題ですが，余弦定理を使うまでもなく，高校受験レベルでも解けてしまいますね。便宜上，図形に名前をつけます。三角形の名前をABCとして，AB=12，BC=11，CA=10，また，角の二等分線による辺BCの内分点をDとすると，BD=6，CD=5となります。
今，頂点Aから辺BCに垂線AHを引きます。そしてCH=yとすると，△ACHと△ABHで三平方の定理を適用して，
AH^2 = 12^2 - (11 - y)^2 = 10^2 - y^2 ⇒ y = 7/2
∴DH = CD - CH = 5 - 7/2 = 3/2
また，
AH^2 = 10^2 - y^2 = 10^2 - (7/2)^2 = 351/4
より，△AHDで三平方の定理を適用すると，求めるADは
AD^2 = AH^2 + DH^2 = 351/4 + (3/2)^2 = 90
∴AD = 3√10
今の教科書だと角の二等分線定理は当たり前のように証明付きで載ってますね（証明方法は動画と一緒）。
私の時代にも教科書に載ってたので、採用した教科書が違うのか単に学生だった時代が違うのか...
中学の知識だと証明のために面倒な補助線が必要ですが高校数学だとsin使って面積比で一発なので、高校数学は偉大ですね（笑）
@@hyakunitizeki1 さん
ご返信ありがとうございます。普通に教科書に載ってるんですね。私の中学時代は教科書になく，学校の授業では全く扱われませんでしたね。塾でしか習いませんでした。上述のとおり，連立不等式も指導要領から削除されていましたが，受験前に先生の裁量で教えていました。しかし角の二等分線定理は学校の授業で全く登場しなかったです（笑）
自分も初見です。 順列、組み合わせを扱ってた時代で、中2の定期試験で将棋盤にはいくつの長方形があるか という問題が今でも忘れられないですよ。
@@coscos3060 さん
順列，組み合わせについても，いわゆるPとCを使う計算ですが，自分の中学時代は学校の教科書にはなかったと記憶しております。教科書にあったのは，せいぜい標本が云々程度。ただ塾では当たり前のようにやってて，私学入試では，知らないと対応できない問題が当たり前のように出ていました。ただ，当時の学校の先生は，私学入試の実態を踏まえて，裁量でPやCを使ったり，余事象を使う問題をガンガン扱っていました。
＞将棋盤にはいくつの長方形があるか
中学の定期試験にしてはえぐいですねこれ😅
@@KT-tb7xm さん そうなんですよ 暗算でも簡単にでるんで忘れらないですよ😉 確か期待値まで教科書にあったような 昭和４０年代なんですで😂
今日京大OP行ってきます！
健闘を祈ります👍
数年前から数学には興味があって、貫太郎さんは基礎もやってくらはるから、本当にありがたい✨ありがとうございます😊💕✨
土日なんで久しぶりに貫太郎できました
角の二等分線の定理の証明は平行線引くやつしかしらなかったです
おはよう御座います。
ヘロンの公式は観賞用で実際に使用した事はないように憶えています。正接の関係式からの証明としては良い練習問題ではありますが…。
面積から辿ってもそんなに時間は要しないのですが、やや遠回りの迂回路になりそうですので、素直に余弦定理から辿っていくのが近道なのかな、と思ったりもします。
「３辺の長さが分かってる状態から面積"だけ"分かればいい」って状況自体がかなり限られますからね。
普通は面積だけじゃなくてsinとかcosにも用がある場合が多いから、その場合はヘロンの公式を使わずに「sinを求める→sinを使って面積を求める」とした方が無駄がないですからね。
ただ、例外的に防衛医科大や自治医科大のような１問１答形式の数学のマーク試験や難関私立高校の小問集合だと「面積さえ分かればいい」って場合が多いので使えますね。
私が土地の買収に係わる仕事をしていたとき、図面上でヘロンの公式を使って地積を確認したところ、先輩（土地家屋調査士の資格を持っておられたのかな？）に、「鉢かづき、君は "事務屋" なのにヘロン知ってるのか❗」と感心されたことがあります。
確か、高校で習ったと思うのですが、今だったら「中学受験する子は習うんですよ。」とでも答えたでしょう(笑)
実生活で「ヘロン」を使ったのはあとにも先にもそのときだけです。
使えるタイミングでは便利ですよ
@@HachiKaduki0501 さん 用地測量して、細かく3角形にして最後に合算して土地面積をだす方法ですよね 座標値が重要なんですよね 土地家屋調査士は難しい試験で今でもそろばんの腕前が必要なんでしょうか
@@coscos3060 さん、調査士さんや測量士さんの試験のことはよく存じませんが、さすがにそろばんは使わないんじゃないでしょうか？
座標で面積を算出するのは、原点Ｏと点Ａ(x₁,y₁)，Ｂ(x₂,y₂) を３つの頂点とする三角形の面積Ｓが、Ｓ＝|x₁y₂-x₂y₁|/2 で求められることを繰り返し使っているんですね。
B△ͦCとし角二等分線の内分点をPとしp⃗=(5/11)b⃗+(6/11)c⃗で両辺2乗,|p⃗|²=
(5/11)²|b⃗|²+(6/11)²|c⃗|²+2(30/121)b⃗c⃗
。b⃗・c⃗=|b||c|cosθ,cosθ=
(12²+10²-11²)/2(12×10)
で|p⃗|²=90と求めました。
全然問題と関係ないんですけど、スマホの入力で２乗ってどうやって入力できるんですか？
6^2=12^2+x …の式を5倍、下の式を6倍しました～
今日たまたまこれ解きました。本当に京都大学？て思いますよね
はじめの式をcosイコールにして消せばcos考えなくていいですね。
4xcosθ=33 だったら24xcosθ=198 なので
36=144+x^2-198 よってx^2=90
こういう定理の証明を大切にする数学の先生がどれほどいることか。
案外定理の証明を使ってとく問題が出題されることがありますからね。
高校入試過ぎると、中学でやった証明とか忘れちゃいますね。
9:55 今回なんだかおすすめ動画と登録表示が出て来て微妙に見にくいんですけどｗ
ご指摘ありがとうございます。修正しました。
角の二等分線の性質は現行の学習指導要領上では数学Aの「図形の性質」の範囲内になっていますね。確かに（高校の）旧々課程までは中学内容だった記憶がありますが、その一部が（高校の）旧課程以降（03年度以降高校入学生以降）高校数学に繰り延べになっているようです。
動画の中で、「二角相当」（二角挟辺相当）という言葉がありましたが、今はその教え方していないみたいなんですよね（言葉的な意味で）
今の学生は長ったらしく、「ふたつのかくのおおきさと、あいだのへんのながさがひとしい」と書かないと行けないようで
多分それは先生によるような気がします。私の中学時代も合同条件や相似条件の二辺夾角相当とか二角相当みたいな用語は教科書に載っていませんでしたが，先生が裁量で教えて，定期試験でもそれで良しとされていました。一方，高校進学後に他中学校から来た同級生は「二辺夾角相当って中学校の試験で書いたら×にされた」なんて言ってました。
ここに、出没する頭いい人からしたら「は？」って感じかもしれんけど、航空大学校でこーゆー問題出そうな気がする、、、
角の二等分線に対するベクトルは比が先に出るのでそれでやったら出ました。ただ計算は面倒です笑
4:40 インターホン
鈴木さんは昭和天皇から最も信頼された海軍大将だったって本当ですか？
（かなり "横" ですが、…。)
「泣いてチャップリン」という本を "ジャケ買い" ならぬ、”著者名で注文” したのですが、あの先生ではないし、"二・二六" ならぬ "五・一五" の話だし…、とがっかりしたことがあります。著者の 森毅（もり たけし）さん、ごめんなさい。
@@NatureJapan3776 さん 学生時代 寮の先輩で鈴木貫太郎 て名前の型破りな人がいた 昔の磨き粉洗剤ハミングを、歯磨き粉替わりに使ってたのには周りの寮生皆ドン引きしてました(⊙_⊙;)
細かい部分に、気を使えるということは、その上？の部分は、物凄く理解しているという証明。
細かい部分＝余裕。
細かい部分の余裕は、何に化けるかと言うと、
多分、聞き手に解りやすくするにはどうすれば良いか？の表現探しのエネルギーになると思っています。
（余裕が無ければ、これはできない）
.
なので解りやすくて当たり前。
また、楽しい解説を期待してます。
.
7:05 ここで立てた2式から消去すべきはcosθでは？
スチュワートの公式でも出来ますね！
スチュワートの公式、覚えたいけど、バカだからかすぐに忘れる（笑）。
@@vacuumcarexpo さん。
「覚えられないなら、作ればいいのよ !」
（貫太郎さんの心を、マリーアントワネット（の周辺にいた某貴婦人）の言葉で表現してみました。）
@@HachiKaduki0501 ご返信ありがとうございます。
スチュワートの定理はパップスの中線定理の一般化だから、スチュワートからパップスへの変換は簡単だけど、パップスからスチュワートに逆算的に変換しようとすると、「えーと、えーと」ってなっちゃう（笑）。
@@vacuumcarexpo さん、そうですよね。
余弦定理の特別な場合が三平方の定理なので、前者から後者を導くのは簡単ですが、後者から前者にはなかなかたどり着けないでしょう。
文系の私でも、”ピタゴラス” は小学生の頃既に知っていたと思います。
（「二十歳過ぎればただの人」ですが、…。(^^ゞ）
中学数学の問題が京都大で…って、こういうのは意外と落とし穴じゃないかと思う。
だいたいがもって京都大学で中学数学の問題が出るなんて誰も予想はしないだろうｗ
実際の問題文はさておき、どう解答するかはすごく悩む受験生が大半だったんじゃあるまいか？
実際に受験した人の感想を聞いてみたいですね。
中学の時に定理ノートというものを作らせてくれた先生。確か、30項目くらいあった。
こんなこと言わなきゃいけない？結果だけいいんじゃないのと思っていたけど、高校に入った時にすでに神だと思った☺先が見えている人は素晴らしいと思って、自分もそのスタイルを一生貫きたいと思う。
というか、貫太郎さんの「貫」っていう字、素敵ですよね☺
高校受験でこういうの解いた覚えあるわ
倍角すらいらないよね。数Ⅰの範囲になるから文系の問題かな？
2つの余弦定理の式の差から、4xcosΘ＝33になるから、両辺に5か6をかければ終了じゃん。
この問題、京都府の公立高校の入試・・・、というか中学生でもできるのね。
11の辺が角の二等分線で6と5に分かれることさえ分かれば、
10と12の辺でできる頂点から11の辺に垂線引けば、三平方の定理だけで終わるよね。
交点からそれぞれ垂線下ろせば垂線は同じ長さなので、面積の比がそのまま底辺を分割することになります。
左右の三角形でそれぞれ余弦定理使ってｺｻｲﾝθを消せばxの方程式がすぐ出ます。その方が発想が簡単だと思いますがいかがでしょうか？
分けられた２つの三角形の面積比で覚えてました。高さが同じときは底辺の比。これの2パターンから。
(公式、三角関数、ベクトルの予備知識なしで)
△ABCの角Aの2等分線とBCとの交点をPとし、
AB上の点Qを角APQ=角ACPとなるように定め、
△PQB∽△APB および △APQ∽△ACP から
PB/AB = PQ/AP = CP/AC => PB=6 & PC=5
AP*AP
=AQ*AC
=(AB-QB)*AC
=AB*AC-(PB*(PB/AB))*AC
=AB*AC-(PB*PC/AC)*AC
=AB*AC-PB*PC
=12*10-6*5
最小公倍数を見つけてcosθを消しちゃえば、中学生でも解けますね。
√（12*10－5*6）=3√10ですね
インターホン、自分の家のやつがなったのかと思った。(^◇^;)
さすが、無編集系youtuber
和と差の積とか地味に効いてくるよなぁ。
倍角とか使わずにできたんですけど・・・
本日は所謂「大阪都構想」の住民投票の日
先にここの問題を検討して住民投票に行こうとすると、ここの問題で泥沼にハマったとき投票に行くのが面倒になると思い、先に投票を済ませ、投票場の近くのスーパーで買い物をしてこの問題に取り組みました。
「死ぬほど簡単」が２回出てくるとちょっとプレッシャー。とは言うものの京大でこれが出題された意図はちょっと掴みかねます。
私は右側の三角形と左側の三角形でそれぞれ cosθ＝○△□の式を作ってそれが等しいということでｘについて解きました。
角の2等分線の定理は有名定理ですから、証明の流れは覚えていました。ただ、一度は経験していないとあのような補助線はなかなか思いつかないのではないかと思います。青チャに載っている定理なので最近は中学では習わない定理なのでしょうかね？（と、いいつつ私はこの定理を「学校」で習った記憶は無い。単に私が覚えていないのか、カリキュラムの狭間で習わなかったのかは不明です。）
三角関数の使用を認めるなら、面積比を使う証明がシンプルで好きです。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
2式でcosを消去したら早くないかい
aicezukiが試験中に知恵袋に投稿してた問題じゃん
定理の証明に他の定理使ってもいいのか。
角の二等分線の定理は高校数学Aですね。
暗算でできましたー
一応ベクトルと正弦定理で証明したンゴ
幾何的に証明する意識が全くなかった
俺ならベクトル使うな。x=|(5a+6b)/11|より
ヨシッ❗
暗算で√90
東大とか京大稀にあるよね
√(12・10-6・5)=3√10で答えでるからこの公式を証明して終わりだと思った。まぁ証明できる人あんまいないのかもしれないけどwwこれならθは使わないし楽だと思う。
ベネッセに出たよー
あれ、中三だけど解けた…
自分なら証明は面積比ですかねー